32.マイヤーの関係式（難易度：⭐️）

1. 理想気体
2. 定圧熱容量\(C_p\)と定積熱容量\(C_V\)の関係
3. マイヤーの関係
4. マイヤーの関係の証明

みなさん、勉強おつかれさまです！！

この単元では理想気体の性質を学んでいきましょう！！

1.理想気体

はい！今回も復習から行きますよ！！

過去に何回か質問したことがありますが、もう一回質問します！！

理想気体とはなんですか？

です！！

この単元もこの「理想気体」の性質について学んで行きたいと思います！！

2.定圧熱容量\(C_p\)と定積熱容量\(C_V\)の関係

以前、「定圧熱容量\(C_p\)と定積熱容量\(C_V\)の関係」について

学びました！

さて、どのような関係だったか覚えてるでしょうか、、

少し複雑な式ですが、

$$C_{p} = C_{V}+\left \{ p+ \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{T} \right \} \left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{p}$$

の関係が「どんな気体でも」成り立っていました！！

そして、理想気体の場合はこの式がさらに簡単になるのです！！

そしてその簡単になった定圧熱容量\(C_p\)と定積熱容量\(C_V\)の関係式のことを、

「マイヤーの関係式」と言います！

3.マイヤーの関係

まずは最初にマイヤーの関係式を見てみましょう！

という関係式です。

4.マイヤーの関係式の証明

では、この「マイヤーの関係式」を導いてみましょう！！

導き方（証明）

全ての気体に対して、

$$C_{p} = C_{V}+\left \{ p+ \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{T} \right \} \left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{p}$$

が成り立ちます。そして、

前回の単元より、理想気体では、

$$\frac{\partial U}{\partial V}=0$$

となるので、以下のように計算することができます。

\begin{align}
C_{p} &= C_{V}+\left \{p+ \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{T} \right \} \left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{p}\\\\
&= C_{V}+p\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{p}
\end{align}

ここで、理想気体は「ボイル・シャルルの法則が常に成り立つ気体」だということを考えると、
上の式の\(V\)に、

$$ pV=NRT$$
$$ V=\frac{NRT}{p}$$
を代入することができます。
では実際に、代入すると、

\begin{align}
C_{p}&= C_{V}+p\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{p}\\\\
&= C_{V}+p\frac{\partial}{\partial T}\left(\frac{NRT}{p}\right)_{p}\\\\
&= C_{V}+p\frac{NR}{p}\frac{\partial}{\partial T}T\\\\
&= C_{V}+NR
\end{align}

よって、

$$C_{p} = C_{V}+NR$$

を示すことができました！！

この単元は以上です！お疲れ様でした！