1.複素数（難易度：⭐️）

1. 虚数単位
2. 純虚数と複素数
3. 実部と虚部
4. 二つの複素数が等しいということ

みなさん、勉強おつかれさまです！！

これからみなさんは「複素解析」

というものを学んでいいきます！！

まずは、複素関数を学んでいくためで

必要となる「虚数単位」というものを勉強しましょう！

1.虚数単位

まずは、「虚数単位」というものを学びます！！

つまり、「二乗したら\(-1\)となる数」を\(i\)と決めたのです！！

例題

\(z^2+z+1=0\)を複素数の範囲で解きましょう。

答え

解の公式を用いると、

\begin{align}
z &= \frac{-1 \pm \sqrt{1^2-4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}\\\\
&= \frac{-1 \pm \sqrt{3}i}{2}\\\\
\end{align}

注意

上の問題は、普通に解の公式を用いて解くことができました。

そして答えに、\(i\)が出てきました。

この問題は「複素数の範囲でといてください」といっているので

この答えは、合っていますが、もし「実数の範囲でといてください」

と言われたら\(i\)を使ってはいけないことになるので、

この式に答えはないことになります。

2.純虚数と複素数

先ほど、「二次方程式\(z^2=-1\)を満たす数\(i\)とかく」と決めました！！

「純虚数」と「複素数」というのはこの\(i\)を使って定められます！！

簡単にいうと、純虚数というのは「\(z= ○ i\)」となっている数ということになります！

では、以下で例を見て見ましょう！！

例　純虚数の例

• \(z=-i\)
• \(z=3i\)

では、これらの二つの「純虚数」が二乗したら負の実数になるか確認して見ましょう！！

二乗したら負の実数になることの確認

• \((-i)^2=(-i) \cdot (-i) =i^2=-1\)
• \((3i)^2=3i \cdot 3i =9i^2=-9\)

例　複素数の例

• \(z=4+3i\)
• \(z=9-2i\)

3.実部と虚部

簡単にいうと、純虚数というのは「\(z= ○ i\)」となっている数ということになります！

例題

複素数\(z=5+8i\)の実部Re\(z\)と虚部Im\(z\)を求めよ。

答え

\(Rez=5\)

\(Imz=8\)

4.二つの複素数が等しいということ

では、質問です。

「\(z=2-3i\)と\(z=2-3i\)という二つの複素数は等しいですか？」

と聞かれたらどう思いますか？

ほとんどの皆さんは

「等しい！」と思うと思います！！

そうなんです、ではなんで等しいと思ったのでしょうか？

それは無意識に

「それぞれの係数が同じだから」と判断しているのです。

そうそして、これがまさに、「複素数が等しい」ということなのです

この単元は以上です！お疲れ様でした！