目次
みなさん、勉強おつかれさまです！！
一つ前の単元では
1.複素数の四則演算
まずは、複素数の計算方法を学びましょう！！
複素数の四則演算
二つの複素数を、 \(z_1 =x_1 +y_1 i\)、 \(z_2 =x_2+y_2 i\)とする、
このとき、複素数の四則演算(足し算、引き算、掛け算、割り算)を以下のように決める。
\begin{align}
z_1 + z_2 &=(x_1 + x_2)+(y_1 + y_2)i\\\\
z_1-z_2 &=(x_1-x_2)+(y_1-y_2)i\\\\
z_1 z_2 &=(x_1 +y_1 i)(x_2 +y_2 )i\\\\
&=(x_1 x_2 – y_1 y_2)+(x_1y_2 + y_1 x_2)i\\\\
\frac{z_1}{z_2} &= \frac{(x_1 x_2 + y_1 y_2)+(-x_1y_2 + x_2 y_1)}{{x_2}^2 + {y_2}^2}
\end{align}
これが複素数の四則演算です！！
これは計算して慣れるほかありません！！
では例題を解いてみましょう！！
例題
二つの複素数を、 \(z_1 =2+5i\)、 \(z_2 =3+4i\)とします。このとき、
\(z_1 + z_2,z_1-z_2,z_1 z_2 ,\frac{z_1}{z_2} \)をそれぞれ求めよ。
答え
\begin{align}
z_1 + z_2 &=(2 + 3)+(5 + 4)i\\\\
z_1-z_2 &=(2-3)+(5-4)i\\\\
z_1 z_2 &= -14+23i\\\\
\frac{z_1}{z_2} &= \frac{26+7i}{25}
\end{align}
2.共役な複素数
共役な複素数
ある複素数\(z\)に対し、虚部の符号のみを変えたものを\(z\)の共役な複素数といい、
\(z^\ast\)とかく。
では、以下で例を見て見ましょう！！
例題 以下の複素数に対して、「共役な複素数」を答えよ
\(z_1=10+15i\)
\(z_2-9-45i\)
答え
\({z_1}^\ast=10-15i\)
\({z_2}^\ast=-9+45i\)
注意
高校で複素数を勉強した方は、
「複素共役のマークは、\( \overline{z}\)じゃないの？」と
思った方もいると思います。
大学では、\(z^\ast\)。
このアスタリスクをつけるマークを主につかいます！！
（なんで\( \overline{z}\)を使わないかというと、集合の補集合の記号として用いるからです、、）
3.複素数の絶対値
複素数の絶対値
ある複素数\(z\)に対し、\(z\)の共役な複素数を\(z^\ast\)とかく
\(\sqrt{z z^\ast}\)を複素数\(z\)の絶対値といい。
\(|z|\)とかく。
例題 以下の複素数に対して、絶対値を答えよ
\(z_1=1+2i\)
\(z_2=3-i\)
答え
\begin{align}
|z_1| &=\sqrt{z_1 {z_1}^\ast}\\\\
&=\sqrt{(1+2i)(1-2i)}\\\\
&=\sqrt{5}\\\\
|z_1| &=\sqrt{5}
\end{align}
\begin{align}
|z_2| &=\sqrt{z_2 {z_2}^\ast}\\\\
&=\sqrt{(3-i)(3+i)}\\\\
&=\sqrt{10}\\\\
|z_1| &=\sqrt{10}
\end{align}
どうでしょうか？
簡単だったでしょうか？？
まとめ
- 複素数の四則演算：以下のように定める。\begin{align}
z_1 + z_2 &=(x_1 + x_2)+(y_1 + y_2)i\\\\
z_1-z_2 &=(x_1-x_2)+(y_1-y_2)i\\\\
z_1 z_2 &=(x_1 +y_1 i)(x_2 +y_2 )i\\\\
&=(x_1 x_2 – y_1 y_2)+(x_1y_2 + y_1 x_2)i\\\\
\frac{z_1}{z_2} &= \frac{(x_1 x_2 + y_1 y_2)+(-x_1y_2 + x_2 y_1)}{{x_2}^2 + {y_2}^2}
\end{align} - 共役な複素数：ある複素数\(z\)に対し、虚部の符号のみを変えたものを\(z\)の共役な複素数といい、
\(z^\ast\)とかく。
- 複素数の絶対値：\(\sqrt{z z^\ast}\)を複素数\(z\)の絶対値といい、\(|z|\)とかく。
この単元は以上です！お疲れ様でした！
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