20.理想気体がする仕事（断熱変化）（難易度：⭐️⭐️⭐️）

1. 理想気体がする仕事
2. 理想気体がする仕事（断熱変化）

みなさん、勉強おつかれさまです！！

前回の単元では、「等温変化で理想気体がする仕事」について

学びましたね！！

1.理想気体がする仕事

さて、今回もまずは復習です！！

いままで、何回も出てきましたが、

「理想気体のする仕事」は

体積が、\(V_1\)から、\(V_2\)へ体積が増えたとすると、

という風にかくことができました。

今日もこの式を存分に使います！！

この式が自分の手足のようにつかう準備を

していてくださいね！！

前回の単元では「等温変化」の場合を考えました。

今回の単元では、「断熱変化」の場合を考えたいと思います！！

2.理想気体がする仕事（断熱変化）

まずは「断熱変化」という言葉についておさらいです！！

「断熱変化」というのは、

「熱の出入りが全くないようにした環境」

イメージ的には、外の世界とのやりとりをシャッタアウトした世界です。

さて、先ほどの「理想気体のする仕事」の式をかいたときに、

体積が、\(V_1\)から、\(V_2\)へ体積が増えたとする　と言いました。

この変化が、「断熱変化」の場合を考えます。

ちなみに、断熱変化を熱平衡状態の記述の方法で表すと、

状態が\(（T;V,N）\)から、\(（T’;V’,N’）\)に変化する時、

$$（T;V,N）\overset{}{\longrightarrow}（T’;V’,N’）$$

と書きます。

特に、「断熱操作」であることを強調したい場合は、

この矢印の上に「\(a\)」を書くことで、

$$（T;V,N）\overset{a}{\longrightarrow}（T’;V’,N’）$$

と表します。

このときにした仕事を求めてみましょう。

そして、今回つかう重要事項がもうひとつあります！

それは「ポワソンの法則」というものです。

今回は、この式も用いて、積分を計算していきます。

積分をするまえに、まず、\( \frac{T’}{T}\)を２通りの方法で計算します。

１通り目

いま考えているのは、理想気体です。

理想気体というのはボイル・シャルルの法則

が成り立つので、これを用いると、

という風に計算することができました！

2通り目

ここで、先ほど紹介した「ポワソンの法則」を使います。

「ポワソンの法則」より、

となります。

以上より、\( \frac{T’}{T}\)を二つの式で表すことができました。

なので、これらの二つを＝で結んでみると、、

という風に変形することができました。

この式を用いると、二つのある状態の圧力と体積の関係がわかることになります。

つまり、

「圧力\(p_1\),体積\(V_1\)」

「圧力\(p\),体積\(V\)」

という二つの状態において、

という関係式を導くことができます。

同じようにして、

「圧力\(p_1\),体積\(V_1\)」

「圧力\(p_2\),体積\(V_2\)」

という二つの状態において、

という関係式を導くことができます。

はい！！これで準備は整いました！！

早速積分をしていきたいと思います！！

スタートの式は、毎度恒例

です！！

まず、この式に、

を代入して計算していくと、

次に、

を用いることで、さらに変形することができて、

はい！これがまさに

「断熱変化で理想気体がする仕事」です！！

はい！

結果的に、複雑だった「理想気体のする仕事」が

簡単な式で表すことができました！！

今回は、計算が多くて、大変でしたね。。

ゆっくり休んでくださいね^^

この単元は以上です！お疲れ様でした！