目次
みなさん、勉強おつかれさまです！！
前回の単元では、「熱容量」や「熱力学第一法則から導かれること」
について勉強しました。
この単元では、一つまえの単元
の証明をしますので、
この単元を読もうと思っている方で、
一つ前の単元を把握していない方がいたら
1.熱力学第一法則からわかること3
一つ前の単元で学んだ
「熱力学第一法則からわかること3」
とは「二つの熱容量\(C_{ V}\)と\(C_{p}\)の間にはある関係がある」
ということです。
そして、その関係というのは、
定積熱容量を\(C_{V}\)、定圧熱容量を\(C_{p}\)とすると、
となります。
この単元では、この\(C_{V}\)と\(C_{p}\)の関係を導きます！！
2.熱力学第一法則からわかること3の証明
証明を三段階に分けます。
- 熱力学第一法則から熱\(Q\)を表す式を作る
- 熱\(Q\)を表す式をを用いて定積熱容量を求める
- 熱\(Q\)を表す式をを用いて定圧熱容量を求める
導き方
1.熱力学第一法則から熱\(Q\)を表す式を作る
内部エネルギー\(U\)を、温度\(T\)、体積\(V\)の関数と考えると、
という風にかくことができます。
ここで、熱力学第一法則に出てくる、\( \Delta U\)を考えます。
\( \Delta U\)というのは、
「はじめの状態での内部エネルギー」ー「終わりの状態での内部エネルギー」
なので、
となります。
また、気体のする仕事\( W\)というのは
と表すことができたので、これらを
これを熱力学第一法則
に適用します。
すると、
したがって、
が成り立ちます。
これで、手順の1は終了です。
次にこの式を用いて、「定積熱容量\(C_{V}\)」を計算します。
2.熱\(Q\)を表す式をを用いて定積熱容量を求める
「定積熱容量」ということは、
定積なので「気体の体積は変化しない」です。
つまり、\(dV=0\)となります。
したがって、先ほどの熱\(Q\)の式
の2項目は無くなります。したがって、
となります。
ちなみに、定積熱容量\(C_{V}\)というのは、
したがって、変形することで、
よって、熱量\(Q\)は、
これで、熱量\(Q\)をふた通りの式で表現することができました！
そして、これら二つを比べて見ます。
これら二つの式を比べてみると、
インテグラルの中のみが違います。
しかし、これら二つの式は同じでなければならないので、
が成り立つことになります！！
これで、「定積熱容量」が求まりました。
最後に「定圧熱容量」です。
3.熱\(Q\)を表す式をを用いて定圧熱容量を求める
先ほどは、定積だったので「気体の体積は変化しない」です。
しかし、今回は「定圧熱容量」なので、
「圧力が一定」
となります。
ここで、先ほどと同じように熱\(Q\)を2通りの式で
表すことを考えます。
まず、先ほどの熱\(Q\)の式を用いると、
と表すことができます。一方で、
ちなみに、定圧熱容量\(C_{p}\)というのは、
したがって、変形することで、
よって、熱量\(Q\)は、
これで、熱量\(Q\)をふた通りの式で表現することができました！
そして、これら二つを比べて見ます。
これらの二つの式をイコールで結んで見ると、
また、「2.熱\(Q\)を表す式をを用いて定積熱容量を求める」で、
という関係式を右辺の2項目に代入することで、
最後にこの式を変形していくことで、
積熱容量を\(C_{V}\)、定圧熱容量を\(C_{p}\)の関係を出していきます。
の関係を用いると、先ほどの式は
のように書きかえることができます。
そして、この式を整理します。
よって、
これらの式の右辺と左辺を比べてみると、
インテグラルの中のみが違います。
しかし、これらの式の右辺と左辺は同じでなければならないので、
これで証明完了です！！
とても長かったですね、、
ここまで理解できたのなら素晴らしいです！！
僕は、これを理解するのに4日かかりました笑
定積熱容量\(C_{V}\)と定圧熱容量\(C_{p}\)には以下のような関係がある。
まとめ
定積熱容量\(C_{V}\)と定圧熱容量\(C_{p}\)には以下のような関係がある。
この単元は以上です！お疲れ様でした！
コメントを残す